Modelování a projekce

Note

Homogenní souřadnice, modelovací, pohledová a projekční matice, perspektivní a ortografická projekce. Základní afinní transformace.

PV189, PV112

Souřadnicové systémy

• Right-hand rule Mnemotechnická pomůcka pro určení orientace os v kartézské soustavě souřadnic. Taky se používá pro určení směru vektorového součinu.

  

  Tip

  Osa X je dána ukazováčkem, osa Y prostředníčkem, osa Z palcem. Pokud Y míří nahoru, pak ano, člověk si u toho může vykroutit ruku, ale alespoň si to zapamatuje.

• Kartézská soustava souřadnic Right-handed systém definován třemi kolmými osami. Ve 2D jsou to $x$ a $y$. Ve 3D jsou to $x$, $y$ a $z$. Jsou na sebe v zájemně kolmé. Počátek je v bodě, kde se protínají všechny osy, označovaném jako $0$.

• Homogenní souřadnice Hack, kdy reprezentujeme souřadnici v 3D prostoru pomocí 4 čísel, abychom mohli zapsat translaci pomocí matice. Využívá se v projektivní geometrii, pro projekci 3D scén na 2D plochu.

  Převod z kartézských na homogenní souřadnice: $(x, y, z) \to (x, y, z, 1)$.

  Převod z homogenních na kartézské souřadnice: $(x, y, z, w) \to (\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w})$.

  Body, kde $w = 0$ jsou body v nekonečnu. Využívá se pro popis pohybu k nekonečnu, který se v kartézských souřadnicích nedá popsat.

MVP matice

Important

Pro implementaci v OpenGL viz Renderování s využitím GPU.

Warning

Při zápisu matic bacha na to, jestli jsou row-major nebo column-major. Třeba v OpenGL to znamená, že se všechny matice píší v transponované podobě, jelikož OpenGL je column-major a v takovém pořádí jsou i parametery mat2, mat3 a mat4 V GLSL.

• Modelovací matice $M$ Převádí souřadnice z prostoru objektu (local space) do prostoru světa (world space). Využívá se pro rotaci ($R$), škálování ($S$) a translaci ($T$) objektu.

  $$M = T \cdot R \cdot S$$

• Pohledová matice / view matrix $V$
  Převádí souřadnice z prostoru světa (world space) do prostoru před kamerou (camera space). Otáčí světem, aby kamera byla jeho středem.¹

  $$V = \begin{bmatrix} \color{red}{R_x} & \color{red}{R_y} & \color{red}{R_z} & 0 \\ \color{green}{U_x} & \color{green}{U_y} & \color{green}{U_z} & 0 \\ \color{blue}{D_x} & \color{blue}{D_y} & \color{blue}{D_z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\color{purple}{P_x} \\ 0 & 1 & 0 & -\color{purple}{P_y} \\ 0 & 0 & 1 & -\color{purple}{P_z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

  kde:

  • $\color{red}{R}$ je vektor, který ukazuje doprava od kamery.

  • $\color{green}{U}$ je vektor, který ukazuje nahoru od kamery.

  • $\color{blue}{D}$ je vektor, který ukazuje dopředu od kamery.

  • $\color{purple}{P}$ je pozice kamery.

    Note

    Všimni si, že levá matice je transponovaná a poziční vektor v pravé matici je negovaný. Je to proto, že otáčíme a posouváme celým světem tak, aby kamera byla v počátku, musíme proto provést inverzní operace vůči těm, které chceme provést s kamerou. ¹

• Frustum Část 3D tělesa (nejčastěji pyramidy nebo jehlanu) mezi dvěma rovnoběžnými rovinami. Doslovný překlad je “komolý jehlan”

• Projekční matice / projection matrix $P$ Převádí souřadnice z prostoru před kamerou (camera space) do clip space.

  Používá se zejména ortografická projekce ($P_\text{ortho}$) a perspektivní projekce ($P_\text{persp}$).

• MVP matice Pro převod modelu z jeho lokálního prostoru do clip space použijeme:

  $$\vec{v}_\text{clip} = P \cdot V \cdot M \cdot \vec{v}_\text{local}$$

Projekce

Ortografická projekce

Používáme především k vykreslení 2D scén. Osu Z můžeme využít, abychom jeden sprite schovali za jiný. Nicméně objekty dál od kamery jsou stejně velké jako ty blízko kamery. ¹

Je dána 6 parametry:

• $\text{left}$ - levá hranice (X),
• $\text{right}$ - pravá hranice (X),
• $\text{bottom}$ - spodní hranice (Y),
• $\text{top}$ - horní hranice (Y),
• $\text{near}$ - blízká hranice (Z),
• $\text{far}$ - daleká hranice (Z).

Společně definují boxík, kde je $(\text{left}, \text{bottom}, -\text{near})$ levý spodní roh a $(\text{right}, \text{top}, -\text{far})$ pravý horní roh. Úkolem matice $P_\text{ortho}$ je nasoukat tento boxík do krychle $(-1, -1, -1) \to (1, 1, 1)$ (a navíc flipnou Z, protože OpenGL mění handedness).

$$\begin{aligned} P_\text{ortho} &= C \cdot S \cdot T \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{2}{\text{right-left}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{\text{top-bottom}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{\text{far-near}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{\text{right+left}}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{\text{top+bottom}}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{\text{far+near}}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{2}{\text{right}-\text{left}} & 0 & 0 & -\frac{\text{right}+\text{left}}{\text{right}-\text{left}} \\ 0 & \frac{2}{\text{top}-\text{bottom}} & 0 & -\frac{\text{top}+\text{bottom}}{\text{top}-\text{bottom}} \\ 0 & 0 & -\frac{2}{\text{far}-\text{near}} & -\frac{\text{far}+\text{near}}{\text{far}-\text{near}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}$$

kde:

• $C$ obrací osu Z, kvůli přechodu z right-handed do left-handed (týká se OpenGL ²),
• $S$ definuje velikost kvádru, který se vleze do clip space,
• $T$ posouvá počátek doprostřed kvádru.

Perspektivní projekce

Zmenšuje objekty, které jsou dále od kamery. ¹

Je definována 4 parametry:

• $\text{FOV}_y$ - field of view (úhel zorného pole) v ose Y,
• $\text{aspect}$ - poměr šířky a výšky okna,
• $\text{near}$ - blízká hranice,
• $\text{far}$ - daleká hranice.

V matici $P_\text{persp}$ se vyskytují následující mezihodnoty:

• $\text{top} = \text{near} \cdot \tan \left( \frac{\text{FOV}_y}{2} \right)$,

• $\text{bottom} = -\text{top}$,

• $\text{right} = \text{top} \cdot \text{aspect}$,

• $\text{left} = -\text{right}$.

• Translace frustumu Posouváme špičku frustumu do počátku souřadného systému. ³

  $$T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{\text{left} + \text{right}}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{\text{bottom} + \text{top}}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

  Note

  Všimni si, že. Pokud používáme 4-parametrickou verzi, tak je to matice identity a tím pádem není potřeba.

• Perspective divide Objekty blíže k rovině $\text{near}$ budou větší než objekty dále. Rovina $\text{near}$ reprezentuje plochu obrazovky, na kterou jsou všechny body promítány.

  Perspective divide ³

  

  V obrázku výše je bod $(x, y, z)$ promítnut na rovinu $\text{near}$ jako $(x', y', near)$. Vznikají tak dva trojúhelníky, které jsou si sobě podobné a proto mají stejné poměry stran. Platí tedy $\frac{y'}{\text{near}} = \frac{y}{z}$. Pak $y' = \frac{y \cdot \text{near}}{z}$. Chceme tedy, aby platilo:

  $$\begin{aligned} x' = \frac{x \cdot \text{near}}{z} \\ y' = \frac{y \cdot \text{near}}{z} \end{aligned}$$

  Což můžeme vyjádřit v homogenních souřadnicích vyjadřít dělením $w$ jako:

  $$D = \begin{bmatrix} \text{near} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \text{near} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & \color{red}{0} \\ \end{bmatrix}$$

• Velikost okna Šířka a výška okna dána pomocí $\text{left}, \text{right}, \text{bottom}, \text{top}$ se musí vlézt do intervalu $(-1.0, 1.0)$, proto je potřeba provést škálování:

  $$S = \begin{bmatrix} \frac{2}{\text{right} - \text{left}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{\text{top} - \text{bottom}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

• Přemapování hloubky Chceme zachovat tu schopnost souřadnice $z$ nám říct, že něco je před něčím jiným. Potřebujeme proto přemapovat interval $(-\text{near}, -\text{far})$ na $(-1.0, 1.0)$. Jelikož desetinná čísla mají tendenci vytvářet artefakty, chceme aby toto mapování bylo nelineární tak, aby bylo přesnější blíže $\text{near}$. Použijeme $\frac{c_1}{-z} + c_2$, kde $c_1$ a $c_2$ jsou konstanty zvoleny pomocí:

  Note

  Interval $(-\text{near}, -\text{far})$ obsahuje negace, neboť kamera se dívá do -Z osy, ale tyto hodnoty zadáváme jako kladná čísla.

  Note

  $-z$ v rovnici výše je zodpovědné za přepnutí mezi right-handed a left-handed systémem souřadnic v OpenGL.

  Depth mapping ³

  

  $$\begin{aligned} -1.0 &= \frac{c_1}{-(-\text{near})} + c_2 \\ 1.0 &= \frac{c_1}{-(-\text{far})} + c_2 \end{aligned}$$

  Tedy:

  $$\begin{aligned} c_1 &= \frac{2 \cdot \text{far} \cdot \text{near}}{\text{near} - \text{far}} \\ c_2 &= \frac{\text{far} + \text{near}}{\text{far} - \text{near}} \end{aligned}$$

  Pokud $\frac{c_1}{-z} + c_2$ přepíšeme jako $\frac{(c_1 + c_2 \cdot (-z))}{-z} = \frac{(-c_2 \cdot z + c_1)}{-z}$, můžeme opět použít homogenní souřadnice a dělení $w$ a získáme:

  $$M_\text{depth} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -c_2 & c_1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{\text{far} + \text{near}}{\text{far} - \text{near}} & \frac{2 \cdot \text{far} \cdot \text{near}}{\text{near} - \text{far}} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

---

Výsledná matice je:

$$P_\text{persp} = M_\text{depth} \cdot S \cdot D \cdot T = \begin{bmatrix} \textcolor{green}{\frac{2 \cdot \text{near}}{\text{right} - \text{left}}} & 0 & 0 & \textcolor{purple}{-\text{near} \cdot \frac{\text{right} + \text{left}}{\text{right} - \text{left}}} \\ 0 & \textcolor{blue}{\frac{2 \cdot \text{near}}{\text{top} - \text{bottom}}} & 0 & \textcolor{#F56FA1}{-\text{near} \cdot \frac{\text{top} + \text{bottom}}{\text{top} - \text{bottom}}} \\ 0 & 0 & -\frac{\text{far} + \text{near}}{\text{far} - \text{near}} & \frac{2 \cdot \text{far} \cdot \text{near}}{\text{near} - \text{far}} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Tahle matice funguje pro obecné frustum dané parametry $\text{left}, \text{right}, \text{bottom}, \text{top}, \text{near}, \text{far}$. Pokud dosadíme původní parametry za mezihodnoty:

$$\begin{aligned} \textcolor{green}{\frac{2 \cdot \text{near}}{\text{right} - \text{left}}} &= \frac{\textcolor{red}{2} \cdot \text{near}}{\textcolor{red}{2} \cdot \text{right}} = \frac{\text{near}}{\text{top} \cdot \text{aspect}} = \frac{\textcolor{red}{\text{near}}}{\textcolor{red}{\text{near}} \cdot \tan \left( \frac{\text{FOV}_y}{2} \right) \cdot \text{aspect}} = \textcolor{green}{\frac{\cot \left( \frac{\text{FOV}_y}{2} \right)}{\text{aspect}}} \\ \textcolor{blue}{\frac{2 \cdot \text{near}}{\text{top} - \text{bottom}}} &= \frac{\textcolor{red}{2} \cdot \text{near}}{\textcolor{red}{2} \cdot \text{top}} = \frac{\textcolor{red}{\text{near}}}{\textcolor{red}{\text{near}} \cdot \tan \left( \frac{\text{FOV}_y}{2} \right)} = \textcolor{blue}{\cot \left( \frac{\text{FOV}_y}{2} \right)} \\ \textcolor{purple}{-\text{near} \cdot \frac{\text{right} + \text{left}}{\text{right} - \text{left}}} &= -\text{near} \cdot \frac{\color{red} \text{right} - \text{right}}{2 \cdot \text{right}} = \textcolor{purple}{0} \\ \textcolor{#F56FA1}{-\text{near} \cdot \frac{\text{top} + \text{bottom}}{\text{top} - \text{bottom}}} &= -\text{near} \cdot \frac{\color{red} \text{top} - \text{top}}{2 \cdot \text{top}} = \textcolor{#F56FA1}{0} \end{aligned}$$

dostaneme matici, na kterou se trochu lépe kouká: ⁴

$$P_\text{persp} = \begin{bmatrix} \textcolor{green}{\frac{\cot \left( \frac{\text{FOV}_y}{2} \right)}{\text{aspect}}} & 0 & 0 & \textcolor{purple}{0} \\ 0 & \textcolor{blue}{\cot \left( \frac{\text{FOV}_y}{2} \right)} & 0 & \textcolor{#F56FA1}{0} \\ 0 & 0 & -\frac{\text{far} + \text{near}}{\text{far} - \text{near}} & \frac{2 \cdot \text{far} \cdot \text{near}}{\text{near} - \text{far}} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Základní afinní transformace

Opakování z Lineární algebry II:

• Afinní prostor $\mathcal{A}$
  Trojice $(A, V, \oplus)$, kde $A$ je množina bodů, $V$ je vektorový prostor (zaměření) a $\oplus$ je binární funkce $\oplus : A \times V \to A$.

• Standardní afinní prostor $\mathcal{A}_n$
  Je afinní prostor $(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n, +)$.

• Afinní kombinace bodů
  Výrazy tvaru $t_0 \cdot a_0 + t_1 \cdot a_1 + ... + t_n \cdot a_n$, kde $t_i \in \mathbb{R}, a_i \in \mathcal{A}$ a $\sum_{i=0}^n t_i = 1$.

• Afinní zobrazení
  Zobrazení $f : \mathcal{A} \to \mathcal{A}$, které zachovává afinní kombinace bodů.

  Složení nějakého lineárního zobrazení a translace.

• Translace $T$
  Pro posun v 2D prostoru podél osy $(x, y)$:

  $$T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

  Pro posun ve 3D prostoru podél osy $(x, y, z)$:

  $$T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• Rotace $R$
  Pro rotaci v 2D prostoru o úhel $\theta$:

  $$R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

  Pro rotaci ve 3D prostoru o úhel $\theta$:

  • Kolem osy $X$:

    $$R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

  • Kolem osy $Y$:

    $$R = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

  • Kolem osy $Z$:

    $$R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• Škálování / scale $S$ Pro škálování v 2D prostoru:

  $$S = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

  Pro škálování ve 3D prostoru:

  $$S = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• Zkosení / shear (asi taky $S$) Pro zkosení v 2D prostoru vektorem $(x, y)$:

  $$S = \begin{bmatrix} 1 & x & 0 \\ y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

  Pro zkosení ve 3D prostoru podél plochy $YZ$:

  $$S = \begin{bmatrix} 1 & Y & Z & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

  Podél plochy $XZ$:

  $$S = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ X & 1 & Z & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

  Podél plochy $XY$:

  $$S = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ X & Y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Další zdroje

• glm::ortho
• glm::perspective
• glm::lookAt

---

Zdroje

1. LearnOpenGL: Camera ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

2. LearnWebGL: Orthographic Projection ↩

3. LearnWebGL: Perspective Projection ↩ ↩² ↩³

4. gluPerspective ↩