Zpracování obrazu - intro

Tip

Doporučuju kouknout na shrnutí v zápiscích z předmětu PA166 od xrosecky

• Gradient $\nabla$
  Vektorové pole ve směru největšího nárůstu.

  Standardně ho spočítáme jako derivaci obrazu podle x a y. V praxi ale používáme aproximaci derivace podle Taylorova rozvoje.

• Aproximace derivace
  Taylorův polynom vypadá takto: $f(x + h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) + \dots + \frac{h^n}{n!}f^{(n)}(x) + O(h^{n+1})$.

  Z něho můžeme odvodit rovnici pro první derivaci (v našem případě ji nazýváme dopředná diference):

  $$\begin{aligned} f(x + h) \approx &\ f(x) + hf'(x)\\ f'(x) \approx &\ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{aligned}$$

  Tu můžeme dále zpřesnit, pokud si vypíšeme taylorův rozvoj až do druhé derivace včetně (tím získáme centrální diferenci):

  $$h_1 = 1, h_2 = -1\\ f(x + h_1) - f(x + h_2) \\ \begin{aligned} f(x + 1) - f(x - 1) \approx &\ f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) - f(x) + hf'(x) - \frac{h^2}{2!}f''(x)\\ f(x + 1) - f(x - 1) \approx &\ 2hf'(x) \\ f'(x) \approx &\ \frac{f(x + 1) - f(x - 1)}{2h} \end{aligned}$$

  Podobným stylem získáme i druhou derivaci